【入門】複雑な式を簡単にする謎の技術 グレブナー基底

高次で変数もいっぱいの連立方程式をどうやって解くのか。 今回はグレブナー基底の中身を勉強してきたので紹介します！ いつもの連立方程式でやっていた「そろえて、消す」を、高次・多変数の式でも機械的にできないか？というところから、Buchberger法、被約グレブナー基底、F4まで順番に見ていきます。 ▼今回の教材・シミュレーター https://github.com/kurenaif/ctf_lesso... ※) 今回は有理数係数で計算し、辞書式 x ≻ y を中心に説明しています。グレブナー基底を計算することと、元の方程式の解をすべて求めることは同じではありません。計算しやすい形に整理した後、さらに根を求める処理などが必要になる場合があります。 ▼目次 00:00 introduction 02:11 いつもの1次連立方程式 02:57 高次１変数連立方程式 04:53 高次・多変数の連立方程式 07:29 多項式と単項式順序 11:04 S多項式を作り、剰余を求める 15:55 Buchberger法の手順を追う 18:46 被約グレブナー基底 21:50 F4をシミュレーターで動かす 27:46 もう一つの単項式順序、grevlex 29:50 今回話せなかったことと今後 ▼参考文献・資料 ・Bruno Buchberger / Manuel Kauers, Buchberger's algorithm https://www.scholarpedia.org/article/... ・Bruno Buchberger, Gröbner Bases: An Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory（1985） 被約グレブナー基底の定義・例・一意性：印字ページ193–194 https://www3.risc.jku.at/publications... ・Jean-Charles Faugère, A new efficient algorithm for computing Gröbner bases (F4)（1999） https://wstein.org/129-05/refs/fauger... ・SageMath：単項式順序のリファレンス https://doc.sagemath.org/html/en/refe... ▼X https://x.com/fwarashi イデアル、剰余の意味、なぜこれで正しいのか、どこに応用できるのか……まだまだ話したいことがあるので、反応がよければ続きを作りたい！ よかったら高評価・チャンネル登録・ハイプ、Xでの感想や共有もよろしくお願いします！ サムネイルイラストレーター: https://x.com/V9Qf4 動画素材のSD kurenaif: https://x.com/3u_gumi, https://x.com/mimofeb